✎ Multiplication et division de fractions

Propriété Multiplier deux fractions

Pour tous nombres \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) entiers relatifs, avec \(b \ne 0\) et \(d \ne 0\), on a :

\(\qquad \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d}=\dfrac{a \times c}{b \times d}\)

Exemples

\(\qquad \small \bullet \quad \normalsize \dfrac{-5}{7} \times \dfrac{3}{-4}=\dfrac{-5 \times 3}{7 \times (-4)}=\dfrac{-15}{-28}=\dfrac{15}{28}\)

 \(\qquad \small \bullet \quad \normalsize \dfrac{12}{15} \times \dfrac{21}{14}=\dfrac{12 \times 21}{15 \times 14}=\dfrac{6 \times \color{red}2 \times \color{blue}3 \times \color{green}7}{\color{blue}3 \times 5 \times \color{green}7 \times \color{red}2}=\dfrac{6}{5}\)

Propriété Multiplier une fraction par un nombre
Pour tous nombres entiers relatifs \(a,\;b,\;c\), avec \(b\ne0\) , on a :
\(\qquad \dfrac{a}{b}\times c=c\times \dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times c}{b}\)

Exemple
  \(\quad \dfrac{-5}{8} \times 6=\dfrac{-5 \times 6}{8}=\dfrac{-5 \times \color{red} 2 \times 3}{4 \times \color{red} 2}=-\dfrac{15}{4}\)           
                                                                                                  
Propriété Diviser deux fractions

Pour tous nombres entiers relatifs \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) , avec \(b \ne 0\), \(c \ne 0\) et \(d \ne 0\), on a donc : \(\qquad \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d}=\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b} \times\dfrac{d}{c}\)
Pour diviser la fraction \(\dfrac{a}{b}\) par la fraction \(\dfrac{c}{d}\), on multiplie \(\dfrac{a}{b}\) par l'inverse de \(\dfrac{c}{d}\) c'est-à-dire par \(\dfrac{d}{c}\).

Exemples

\(\qquad \small \bullet \quad \normalsize \dfrac{-5}{7} \div\dfrac{3}{4}=\dfrac{\dfrac{-5}{7}}{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{-5}{7} \times \dfrac{4}{3}=\dfrac{-5 \times 4}{7 \times 3}=-\dfrac{20}{21}\)

\(\qquad \small \bullet \quad \normalsize \dfrac{3}{4} \div7=\dfrac{\dfrac{3}{4}}{7}=\dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{7}=\dfrac{3 \times 1}{4 \times 7}=\dfrac{3}{28}\)

 \(\qquad \small \bullet \quad \normalsize -8 \div\dfrac{14}{-5}=\dfrac{-8}{\dfrac{14}{-5}}=-8 \times \dfrac{-5}{14} =\dfrac{-8 \times (-5)}{14}=\dfrac{\color{red}2 \times 4 \times 5}{\color{red}2 \times 7}=\dfrac{20}{7}\)